구면 좌표계

직교 좌표계 VS 구면 좌표계

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공통점 좌표계

3D 차원 공간에서 위치를 나타내기 위한 대표적인 방법

• 공간상의 점을 표현하는 방식과 활용 목적이 다르다

직교 좌표계(Cartesian Coordinate System)

구조

• 3차원 공간에서 X, Y, Z축을 사용해 점의 위치를 정의
• 각 축은 서로 수직(Orthogonal)이며, 기준점(원점)으로부터 각 축을 따라 이동한 거리를 사용하여 점의 위치를 나타냄3

  좌표 표현$(x,y,z)

• x: yz 평면과의 거리
• y: xz 평면과의 거리
• z: xy 평면과의 거리

  특징

• 좌표 간의 관계가 단순하고 직선적
• 벡터 연신 및 평면 방정식등에서 직관적
• 3차원 공간의 각 지점을 한가지 방식으로만 나타낼 수 있음

  활용

• 직선 운동 문제
• 직교 격자를 사용하는 컴퓨터 그래픽스
• 직선이나 평면 중심의 기하학적 문제
• 구조물 설계나 기계 공학

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구면 좌표계(Spherical Coordinate System)

구조

• 구면 좌표계는 구의 중심을 기준으로 점의 위치를 반지름(r), 각($\theta$), 방위각($\phi$)으로 정의
• 점의 위치는 구의 표면 상의 각도와 중심으로부터 거리로 표현

  좌표 표현($r,\theta,\phi$)

• r : 구의 중심(원점)으로부터 점까지 거리($r>=0$)
• $\theta$ : z축과 점을 잇는 선이 이루는 각도($0<=0<=\pi$)
• $\phi$ : xy 평면에서 x축을 기준으로 측정한 반시계 방향 각도($0<=\phi<2\pi$)

  특징

• 구 대칭성을 가진 문제에서 계산이 간단해짐
• 공간상의 같은 점을 나타내는 좌표를 여러가지가 될 수 있음
  • 예 : r = 0일때 $\theta$와 $\phi$는 임의의 값을 가질 수 있음
• 좌표 변환을 통해 직교 좌표로 변환하거나 반대로 변환할 수 있음

  활용 사례

• 구 대칭 전기장이나 중력장 계산
• 천문학에서 천체의 위치 표현
• 음향학에서 구형 파동의 해석
• 3D 모델링 및 게임 개발

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좌표 변환

직교 좌표계 -> 구면 좌표계

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
$\theta = arccos(\frac{z}{r})$
$\phi = arctan2(y,x)$

구면 좌표계 -> 직교 좌표계

$x = rsin\theta\cos\phi$
$y = rsin\theta\sin\phi$
$z = rcos\theta$

요약

• 직교 좌표계는 직선적이고 간단하며 대부분의 기하학적 문제에 사용됨, 구 대칭 문제가 등장하면 계산이 복잡해질 수 있음
• 구면 좌표계는 구형 대칭성을 가진 문제에 적합하며, 각도와 반지름을 사용하는 것이 더 직관적, 그러나 직교 좌표계를 변환하거나 복잡한 각도 계산이 필요한 경우 있음