09 행렬 기초

• 행렬(Row Column)

  • 행렬과 상수 곱셈
    • 행렬*상수 = 행렬에 속한 값에 각각 상수를 곱해주면 된다
  • 행렬의 덧셈 뺄셈
    • 행렬끼리의 덧셈 뺄셈은 동일한 행, 렬을 가진 포멧에서만 가능
    • 동일한 행,렬에 속하는 값끼리 계산해주면 된다
  • 행렬끼리 곱
    • 앞에 오는 행렬의 렬의 갯수와 뒤에 오는 행렬의 행의 갯수가 같아야한다
    • 앞에오는 행렬의 행 * 뒤에오는 열 을 곱하는 방식으로 각각 구해진다

• 행렬의 법칙

  • 교환법칙
    • 정의
      • 연산의 위치를 바꿔도 동일한 값이 나와야한다
    • 행렬은 곱셈이나 나눗셈은 연산하는 행렬의 순서가 바뀌면 값이 달라지므로 성립하지 않는다
  • 결합법칙
    • 정의
      • 연산의 순서를 바꿔도 결과가 같다
    • 행렬은 결합법칙이 성립한다

• 항등행렬(Identity)

  • 정의
    • 모든 값들이 0이지만 행과 열이 같은 애들은 1인 값
    • 2x2 행렬 = 1 0
      0 1
  • 항등 행렬과 다른 행렬 A와 곱하면 위치 상관없이 항상 A 행렬이 나온다

• 역행렬

  • 정의
    • 행렬 A에 어떠한 행렬을 곱했을 때 항등행렬 I가 나오는 행렬
    • A라는 행렬에 변화를 줄건데 그 변화를 뒤로돌려 상쇄시키고 싶을 때 많이 사용
    • 항상 존재하지 않는다
    • 역행렬이 존재하려면 D = ad - bc != 0 이 참이여야 한다
  • 역행렬 공식
    • A 행렬의 역행렬 -> $A^{-1}$ = 1/D * d - b

                                                                    -c  a

• 전치 행렬

  • 정의
    • 행렬의 대각선을 기준으로 서로의 위치를 바꾸는 행렬

• 직교 행렬
  

  • 정의
    • 각 성분들이 직각인 행렬
    • 내적을 통해 알아볼 수 있음
  • 직교 행렬에 직교 행렬의 전치 행렬을 곱해주면 항등행렬 I가 나온다
    • 즉 직교 행렬의 역행렬은 전치 행렬이다

• 내적 - 외적

  • 내적
    • 정의
      • 두 벡터가 이루는 각도를 활용해 벡터 간의 관계를 계산하는 방법
      • 두 벡터가 얼마나 같은 방향으로 가는지 유사성을 측정하는데 사용
      • 결과는 스칼라 값
    • 수식 : A⋅B=∣A∣∣B∣cosθ (θ 는 두 벡터사이 값)
      • 두 벡터가 같은 방향일 때 내적값은 최대
      • 서로 직각일 때 내적 값 0
      • 반대 방향일 경우 음수
    • 용도
      • 벡터간 유사도
      • 광원계산
      • 물체의 표면과 카메라 시점이 얼마나 일치하는지 계산
  • 외적
    • 정의
      • 두 벡터로 부터 세번째 벡터를 생성하는 연산
      • 새로운 벡터는 두 벡터와 수직인 방향을 갖는다
      • 결과는 벡터 값
    • 수식 : A×B=(AyBz−AzBy,AzBx−AxBz,AxBy−AyBx)
      • 두 벡터에 모두 수직인 새로운 벡터 생성
      • 벡터의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적과 같다
    • 용도
      • 법선 벡터 계산
      • 물리 회전
      • 물리 시뮬레이션에서 토크 계산
      • 삼각형의 면 법선(normal)을 구해 빛의 반사 방향
      • 표면에 수직인 벡터를 구하는데 사용

• 벡터와 행렬
  

  • 벡터와 행렬의 곱을 이용하여 각각의 좌표 등등을 구할 수 있다